Números Irracionais ou Números Incomensuráveis.... Por qual motivo são chamados de incomensuráveis?

     Para entender esse processo, antes, se faz necessário compreender o conceito de medir. Isso mesmo, medir é comparar grandezas de mesma espécie – dois pesos, dois comprimentos, etc. - e muitos apresentam resistência a entender esse conceito, apesar de usá-lo com bastante freqüência. Comparar grandezas de mesma espécie? Bem, Imagine três seguimentos de reta, são grandezas de mesma espécie, não são?

A_____________________B

C_____________D

E______F

     Pois é... Usando essas grandezas podemos ter as seguintes possibilidades:

• CD cabe um número exato de vezes em AB, logo o resultado dessa medida é um número inteiro.

• CD não cabe um número exato de vezes em AB. Porém, pode existir outro segmento, EF, que caiba um número exato de vezes em CD e outro número exato de vezes em AB; o resultado da medida é um número fracionário.

• Nem EF cabem um número inteiro de vezes em AB e nem outro número inteiro de vezes em CD. Neste caso, AB e CD são grandezas incomensuráveis.

     Um exemplo de grandezas incomensuráveis é a medida da diagonal do quadrado e o seu lado como unidade de medida. A descoberta dessas grandezas deixou a comunidade grega, em especial a comunidade pitagórica numa situação desconfortável, uma vez que para Pitagóras tudo era número. Sabemos hoje que a medida da diagonal usando o lado do quadrado como unidade de medida é dada pela raiz quadrada de dois. Os gregos perceberam geometricamente que esse número existia, porém não conseguiram mostrar aritmeticamente esse processo, uma vez “o universo dos gregos era limitado a coisas mais imediatamente acessíveis aos sentidos” (DANTZIG, 1970, p.96). O fato é que a existência desses números contrariou intuição geométrica dos gregos.

     Enfim, a descoberta das grandezas incomensuráveis desencadeou a primeira crise da Matemática e esse enigma só foi esclarecido quando o conceito de número deixou ter uma visão quantitativa e passou a ter uma visão qualitativa, o que permitiu a construção da teoria dos números irracionais. Esse tema ainda deixa muitos professores numa situação desconfortável, já que normalmente não tem uma definição clara sobre esses números quando são abordados por seus alunos. A tese de Antonio Miguel, além de esclarecer em aprte a historia da criação desses números, traz várias sugestões de atividades relacionadas ao tema para serem aplicadas em sala de aula. Outra opção são os artigos de Geraldo Ávila: Incomensuráveis irracionais e Eudoxo Dedekind.

Sugestão para leitura:

ÁVILA, Geraldo. Grandezas incomensuráveis e números irracionais. RPM, n. 5.